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ランベルトのW関数

ニュートン法で済むことがわかったので以下の記事はあまり意味がないですね。

W関数の日本語の文献が欲しいです...

 

 

 

レポート問題をやってる途中にこれを使わないと解けない方程式が出てきたので、調べてまとめておきます。数学的厳密さはもちろん気にしません。

解きたい方程式は、

{\displaystyle e^{-x}+\frac{1}{5}x=1}

です。実は解の近似値が教科書に載っているんですけどね、そのまま書いたって何の面白みもないですからここできちんと計算方法を習得しておきたいんです。

 

この手の方程式はランベルトのW関数というものを使えば解けるそうです。

ランベルトのW関数 - Wikipedia

ランベルトのW関数 - ウィキまとめ

[1003.1628] Having Fun with Lambert W(x) Function

 

適用するために式変形を行います。{x-5=y}と変数変換して整理すると、

{\displaystyle ye^{y}=-5e^{-5}}

となります。 

とにかく変数変換とかして{xe^x=\mathrm{const}}の形に持ち込むのが大事みたいです。

さて、W関数でyを表すと、

{\displaystyle y=W\left(\frac{-5}{e^{-5}}\right)e^{W\left(-5e^{-5}\right)}} 

となります。{-5e^{-5}\simeq -0.033}です。

W関数は多価関数です。詳しく書くと以下の通りです。

  • {W_0}は値域が{W\geqq -1}で、定義域は{\left[\frac{-1}{e},\infty\right)}です。
  • {W_{-1}}は値域が{W\leqq -1}で、定義域は{\left[\frac{-1}{e},0\right)}です。こちらは単調減少です。

 見た感じyは-1より小さそうなので{W_{-1}}を使います。近似計算をするためにマクローリン展開をすると

{\displaystyle W_0 (x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ x^n = x - x^2 + \frac{3}{2}x^3 - \frac{8}{3}x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \cdots}

となります。 

 

これだめですね、コピペしてるからこんなアホなことをするんです。おとなしくニュートン法を使います。というかニュートン法で最初から良かったのではないか...

そうですね、間違いなくそうです。