Ansatzの備忘録

物理の考察のような何かとか

ランベルトのW関数

 

レポート問題をやってる途中にこれを使わないと解けない方程式が出てきたので、調べてまとめておきます。といってもニュートン法使う方がわかりやすいと思いますし、結局レポートはそうしました。

 

解きたい方程式は、

{e^{-x}+rac{1}{5}x=1}

です。

 

 

この手の方程式はランベルトのW関数を使えば解けるそうです。

ランベルトのW関数 - Wikipedia

ランベルトのW関数 - ウィキまとめ

[1003.1628] Having Fun with Lambert W(x) Function

 

この関数は

{f(x)=xe^x}

逆関数として定義されているので、方程式を解くのに応用するなら

{xe^x=\mathrm{const}}

の形にその方程式を変形しなければなりません。

適用するために式変形を行います。{x-5=y}と変数変換して整理すると、

{ye^{y}=-5e^{-5}}

となります。 

 

さて、W関数でyを表すと、

{ y=Wleft(rac{-5}{e^{-5}} ight)e^{Wleft(-5e^{-5} ight)}} 

となります。{-5e^{-5}\simeq -0.033}です。

W関数は多価関数です。詳しく書くと以下の通りです。

  • {W_0}は値域が{Wgeqq -1}で、定義域は{left[rac{-1}{e},infty ight)}です。
  • {W_{-1}}は値域が{Wleqq -1}で、定義域は{left[rac{-1}{e},0 ight)}です。こちらは単調減少です。